CRECIMIENTO LOGARITMICO Y LOGISTICO

Crecimiento poblacional

El crecimiento poblacional es un fenómeno biológico y natural que está íntimamente ligado con aquella característica principal de la materia viva conocida como la capacidad reproductiva de los seres vivos. Es decir, el hecho de que una población llegue, con el tiempo, a saturar una determinada área geográfica, además de haber agotado todos los recursos que éste le pueda brindar, no es otra cosa que la manifestación de la ley natural. La ley natural de la vida que determina la existencia de las cosas.

Podemos definir entonces, apoyados en la ley natural de la vida, tres fases en el crecimiento poblacional: El Inicio o Fase de Asentamiento, El intervalo de Abundancia o Fase de Desarrollo y La Decadencia o Fase de Control.

Fases del crecimiento poblacional Fase de asentamiento Comprendido como el punto de partida del crecimiento poblacional, en ésta fase encontramos a una población vulnerable, es decir, la población se enfrenta a las condiciones favorables o desfavorables que el medio (desconocido) le ofrece, pudiendo adaptarse o no a dichas condiciones, entonces, la adaptación de la población será un factor gravitante en esta primera fase. Las consecuencias de la incapacidad de adaptación que presente la población pueden manifestarse de dos maneras: La extinción de la especie o la migración definitiva de la población.

Ahora, si es que la población logra adaptarse, estaríamos hablando de la Fase de Asentamiento propiamente dicha. En el proceso de adaptación se produce la muerte de aquellos individuos que no presentan las condiciones adecuadas para enfrentarse a las adversidades del nuevo medio, es decir, se da el proceso de la selección natural. Entonces, al terminar esta fase encontraremos individuos fuertes y saludables.

Crecimiento exponencial.- Eso es el crecimiento exponencial: duplicación, reduplicación

y nueva duplicación. Casi todo el mundo se sorprende por este fenómeno, porque la mayoría de la gente piensa en forma lineal y piensa en el crecimiento como un fenómeno lineal.

Una cantidad crece en forma lineal cuando se incrementa en cantidades constantes durante un periodo determinado de tiempo. Si una cuadrilla de trabajadores construye un kilómetro de autopista por semana, el crecimiento de la carretera será lineal. Si un niño pone en su hucha 10 euros al año, sus ahorros crecen en forma lineal.

En el incremento lineal la tasa de crecimiento es constante en un tiempo dado. No se ve afectada por la longitud de la carretera que ya ha sido construida o por la cantidad de dinero que ya hay en la hucha. Una cantidad crece exponencialmente cuando su incremento es proporcional a lo que ya existía. Una colonia de células de levadura en la que cada célula se duplica cada 10 minutos crece exponencialmente.

Por cada célula, a cada 10 minutos habrá dos células. Tras otros 10 minutos habrá cuatro células, 10 minutos después habrá ocho, luego 16 y así sucesivamente. Cuantas más células de levadura haya, mayor será la cantidad de nuevas células cada 10 minutos.

Crecimiento Logístico.- Las poblaciones creciendo inicialmente rápido en una fuente de presión constante, se vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la población, resultando entonces un estado de equilibrio. Este tipo de crecimiento se llama crecimiento logístico.

Crecimiento logístico es el balance entre producción en proporción a la población, y a las pérdidas en proporción a la oportunidad de interacciones individuales.

Primeramente, el crecimiento de la población es casi exponencial. La disponibilidad de alimento es constante y como la población crece esto implica comer más y más. Sin embargo, las células de levaduras se vuelven tan numerosas que sus productos comienzan a interferir con el propio crecimiento. Resultando un estado de equilibrio entre producción y pérdida de células.

Crecimiento Sigmoidal.- Es típico de los organismos que colonizan un ambiente nuevo. Al principio la población presenta un crecimiento lento, luego un crecimiento rápido o exponencial, para al finalizar alcanzar un nivel más o menos equilibrado.

Puede representarse por un gráfico con tres fases perfectamente visibles:

Una fase lenta, (I), que es el período inicial de crecimiento lento, en la que los organismos se acomodan a ese ambiente nuevo. La resistencia ambiental puede ser pequeña, pero existen pocos individuos reproductores.

Fase logarítmica, (II) que es el período de crecimiento exponencial rápido, cuando los organismos se han adaptado perfectamente al medio.

Fase de equilibrio o de estabilización gradual (III), en la que la resistencia ambiental se va manifestando gradualmente, hasta que se mantiene a un nivel de equilibrio.

Este nivel superior indicado por la constante K , no puede ser rebasado y representa la asíntota superior de una curva sigmoide; la ecuación corresponde a: N / ?t = rN {(K-N)/ K}

DEPREDADOR-PRESA DE LOTKA Y VOLTERRA

Modelo matemático Lotka-Volterra.

El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado.

Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.
Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra.

Para iniciar su investigación matemática estableció ciertas cosas:
-Que la especie depredadora se alimentaba exclusivamente de la especie presa, mientras que ésta se alimentaba de un recurso que se encontraba en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo intervenía así ( pasivamente).
- Que ambas poblaciones eran homogéneas, es decir, no intervenían factores como la edad o el sexo.
-Que, así mismo, el medio era homogéneo, es decir, que las características físicas, biológicas entre otras, eran las mismas en el hábitat.
- Y que los encuentros de la especie depredadora con las especie presa eran igualmente probables.
Siendo así, se encontró con que solo existían dos variables : el tamaño poblacional de la especie depredadora y el de la especie presa. Así mismo, supuso que ambos tamaños poblacionales dependían exclusivamente del tiempo y no de alguna otra variable especial.

Determino que si no existiesen depredadores, la población de presas crecería malthusianamente , es decir:

mientras que si ni hubiese presas, la especie depredadora decrecería, también siguiendo un modelo maltusiano, es decir:

Ahora bien, dado que la interacción beneficia a la especie depredadora y perjudica a la presa, él supuso que seria necesario modificar a los depredadores en un termino que diera cuenta del perjuicio para una y del beneficio para la otra, lo que tendría que ser :

Luego entonces, Volterra se topo con el problema de encontrar una forma analítica para cada termino que aparece entre corchetes y, basándose en el argumento de que cuantos más encuentros por unidad de tiempo haya entre individuos de la especie presa con la especie depredadora, mayor ha de ser el perjuicio de unos y el beneficio de otros; llego a la conclusión de que el numero de encuentros por unidad de tiempo entre presas y depredadores, es proporcional al producto algebraico de sus respectivas densidades poblacionales, es decir:
[Numero de encuentros por u. de t.]

x(t)y(t)He incorporó esto en las dos ecuaciones anteriores :

donde a es la tasa instantánea de aumento de presas en ausencia de depredadores; mientras que c es la tasa instantánea per capita de disminución de ,depredadores en el caso de ausencia de presas.

Originalmente Volterra interpreto esto diciendo que :
“...los parámetros constantes a y c representan la razón de nacimiento y muerte de las dos especies; mientras que b mide la susceptibilidad de la especie presa a la depredación y d mide la habilidad de depredación de esta especie. Las constantes b y d son la proporción de encuentros perjudiciales para las presas y la correspondiente de encuentros benéficos para los depredadores, respectivamente...”

Y así logro afirmar que en una interacción presa-depredador descrita en las ecuaciones anteriores, el tamaño de la especie presa y el de la especie depredadora, cambian periódicamente al aumentar el tiempo lo que en términos geométricos sería: *La dinámica de las presas.-

Volterra, basándose en esto, formulo la ley que posteriormente se llamaría Ley de la periodicidad de Volterra, la cual dice que “el cambio de los tamaños poblacionales de ambas especies (presa y depredadora) son periódicos y el periodo depende solamente de a, b, c y d del tamaño inicial de las dos especies...”. Para el caso de pequeñas oscilaciones Volterra da como periodo T=2 / ac.
Posteriormente, formuló otras dos leyes relacionadas a su modelo presa-depredador, las cuales son :
- Ley de Conservación de los Promedios. Según ésta los promedios de los tamaños poblacionales de la especie presa y de la depredadora son independientes de su tamaño inicial y, calculados en un periodo son, respectivamente :
X = c/d y y = a/b

- Ley de la perturbación de los promedios. Ésta dice que si las poblaciones de ambas especies son destruidas a una razón proporcional a su tamaño poblacional, el promedio de las presas aumenta; mientras que el de los depredadores disminuye
Ésta ultima ley es conocida como El principio de Volterra y tiene importantes implicaciones en el uso de insecticidas que destruyen tanto a los insectos depredadores como a sus insectos presa. Es decir , si la proliferación de una plaga (presas) es controlada mediante procedimientos naturales por otra especie (depredadores) , existe cierto equilibrio entre ambas. Si, por otro lado, en cierto momento se decide la aplicación de un insecticida para acabar con la plaga sin tomar en cuenta que éste también mata a los depredadores; el resultado será- según el Principio de Volterra- que, en promedio, la plaga aumenta y, también en promedio, la especie con la que se controlaba disminuye.

Modelo de presa-depredador de Volterra con limitaciones de recursos para la presa.
Partiendo del modelo clásico de Volterra, desde un punto de vista cualitativo, se puede obtener un modelo para el cual la especie presa se alimente de un recurso existente en el ecosistema en cantidades limitadas, es decir, sería un modelo más realista que el anterior en el cual se considera que la especie presa se alimenta de un recurso existente en el ecosistema en grandes cantidades. Luego entonces el modelo sería :
x(t) = ax(t)-(t)-bx(t)y(t) = f(x,y)
y (t) = -cy(t)+dx(t)y(t) = g(x,y)

Así, es necesario definir en primer lugar a y , como:
= {(x,y) a-Ex-by = 0} y = {(x,y) -c+dx=0}

donde los puntos de equilibrio son :
P = (0,0), P = (a/E,0) y P = (c/d,ad-cE/bd) = (x*,y*)

Y dependiendo de la disposición relativa de las rectas y será que el punto P tenga o no sentido, para lo cual hay tres posibilidades :

Para realizar un modelo de coexistencia, los dos ultimos quedan excluidos, es decir, el único util es aquél en el que la razon c/d es estrictamente menor que la capacidad de carga, a/E, de las presas en ausencia de los depredadores. Para obtener el comportamiento de las densidades poblacionales de presas y depredadores al transcurrir el tiempo en el caso de que el estado inicial sea cercano a los puntos P , P , P ; se recurre a realizar una linealización y después de varios operaciones se concluye que los tamaños poblacionales de presas y depredadores oscilan con amplitud decreciente tendiendo a x* y y* , respectivamente.

Así, se puede deducir que si (ad-cE) > 0 entonces la coexistencia entre presas y depredadores cuya dinamica está descrita por el sistema anterior, se da a través de la existencia de un atractor global.

Oscilaciones en modelos generales de Lotka-Volterra para dos especies.
Posteriormente , se llego a un sistema que generaliza los dos modelos anteriores, es decir :
x(t) = [b +a x(t)+ a y(t)]x(t)
y(t) = [b + a y(t)] y(t)]y(t)

donde dependiendo los signos que tengan los coeficientes a , seran los tipos de interacciones entre las dos especies.

Este modelo presenta la peculiaridad de que a través de él no puede ser modelada la coexistencia entre dos especies por medio de comportamientos aislados, es decir, tal sistema no posee ciclos limites.

ANALISIS MATEMATICO II

AREA DEL
TERCER HUMEDAL

AREA: 1,090.75m

A- 13°42'18.60"S 76°13'8.58"O
B- 13°42'15.85"S 76°13'9.31"O
C- 13°42'13.71"S 76°13'9.07"O
D- 13°42'9.88"S 76°13'9.04"O
E- 13°42'2.22"S 76°13'9.49"O
F- 13°42'9.25"S 76°13'10.02"O
G- 13°42'14.98"S 76°13'10.23"O
H- 13°42'15.72"S 76°13'10.97"O
I- 13°42'17.15"S 76°13'11.13"O
J- 13°42'18.80"S 76°13'10.82"O

ANALISIS MATEMATICO II

AREA DE LOS HUMEDALES DE PISCO
AREA DEL PRIMER Y SEGUNDO HUMEDAL

AREA: 1,167.37m

A- 13°42'34.65"S 76°13'9.70"O
B- 13°42'31.89"S 76°13'9.63"O
C- 13°42'31.34"S 76°13'10.72"O
D- 13°42'31.26"S 76°13'9.23"O
E- 13°42'25.79"S 76°13'9.06"O
F- 13°42'22.75"S 76°13'8.40"O
G- 13°42'18.76"S 76°13'8.68"O
H- 13°42'18.84"S 76°13'10.79"O
I- 13°42'22.68"S 76°13'9.62"O
J- 13°42'25.83"S 76°13'11.45"O
K- 13°42'31.32"S 76°13'11.93"O
L- 13°42'34.25"S 76°13'11.70"O